診断書について

日曜日から風邪を引き、病院で急性気管支炎の診断を受けました。
一週間で回復するとのことで、派遣会社と派遣元会社に連絡したら診断書が必要と言われました。
病院で診断書を作成してもらうと6000円ほど掛かるのですが、診断書料金の掛からない個人病院で再度診断してもらい、診断書を作成してもらう際に、前病院で急性気管支炎と診断されたことを伝えて作成してもらうことは可能でしょうか？
現在、薬のお陰で熱は微熱…