健康保険証の住所変更について

最近引っ越すのですが、住所変更について教えて下さい。
私が被保険者で紙の保険証なのですが、住所変更は役所などで行わなければいけないのでしょうか？それとも手書きで修正しても良いのでしょうか？
ネットで検索すると”公文書偽装となるため役所にて手続きをします”とありますが、そうなのでしょうか？
また、病院に行くとカードを作る際住所を記入しますが、保険証の住所を記入しなければいけないのでしょうか？それとも引っ…